最速降下線で物理にはまった私

数学ブームをテレビが紹介していましたが、私が昔、物理にはまったきっかけになったのが「最速降下線」というものです。
　下の図において、鉛直線内にある（円を立てていると考えて）最高点Ｐから、円の任意の弦ＰＱに沿って重力でＱまで落ちる時間は、ＰからＲまで垂直に落ちる時間に等しいことが計算で導かれます。
　ＰＲよりもＰＱの方が距離が短いのですが、重力加速度がｇcosθというふうに小さくなるので、結果的に同じ時間で到達することになるのです。落ちる時間ｔが、ｒ（半径）だけに依存していることからも、角度によらないことがわかります。

　それでは、何故“円”なのでしょう？それは、ＰＱＲという角度が常に90度になるという円の特徴からなのです。
　次に、下の図のように、「点Ｐから直線に落ちる場合に最小時間で到達するのはどこか？」という問題を解いてみましょう。

　答えは、下の図にあるように、Ｐを通って直線に接する円を描くことで、その接点が最速降下線になります。円の書き方は、Ｐから水平線を引いて交わる点をＳとし、ＳＰ＝ＳＱとなる点をＱとし、Ｑからの垂直線とＰからの鉛直線との交点が円の中心Ｏとなります。
　こうやって図を眺めてみると、ＰＱ’ではＰＡとＰＱが同じ時間なので、任意のＱ’ではＰＱよりも時間が長いことがわかります。一番上の図の性質を使うと、円を使うことによって、最速降下点がわかるということになります。

　最速降下点の問題は、物理というよりも作図の問題ということになります。不思議なような、おもしろい問題ですっかりと物理にはまってしまったことを思い出した次第です。